Тангенс, котангенс

Определения гиперболических функций, их области определений и значений

sh x - гиперболический синус
, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .
ch x - гиперболический косинус
, -∞ < x < +∞; 1 ≤ y < +∞ .
th x - гиперболический тангенс
, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .
cth x - гиперболический котангенс
, x ≠ 0 ; y < -1 или y > +1 .

Графики гиперболических функций

График гиперболического синуса y = sh x

График гиперболического косинуса y = ch x

График гиперболического тангенса y = th x

График гиперболического котангенса y = cth x

Формулы с гиперболическими функциями

Связь с тригонометрическими функциями

sin iz = i sh z ; cos iz = ch z
sh iz = i sin z ; ch iz = cos z
tg iz = i th z ; ctg iz = - i cth z
th iz = i tg z ; cth iz = - i ctg z
Здесь i - мнимая единица, i 2 = -1 .

Применяя эти формулы к тригонометрическим функциям, получаем формулы, связывающие гиперболические функции.

Четность

sh(-x) = - sh x ; ch(-x) = ch x .
th(-x) = - th x ; cth(-x) = - cth x .

Функция ch(x) - четная. Функции sh(x) , th(x) , cth(x) - нечетные.

Разность квадратов

ch 2 x - sh 2 x = 1 .

Формулы суммы и разности аргументов

sh(x ± y) = sh x ch y ± ch x sh y ,
ch(x ± y) = ch x ch y ± sh x sh y ,
,
,

sh 2 x = 2 sh x ch x ,
ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x = 2 ch 2 x - 1 = 1 + 2 sh 2 x ,
.

Формулы произведений гиперболического синуса и косинуса

,
,
,

,
,
.

Формулы суммы и разности гиперболических функций

,
,
,
,
.

Связь гиперболического синуса и косинуса с тангенсом и котангенсом

, ,
, .

Производные

,

Интегралы от sh x, ch x, th x, cth x

,
,
.

Разложения в ряды

Обратные функции

Ареасинус

При - ∞ < x < ∞ и - ∞ < y < ∞ имеют место формулы:
,
.

Ареакосинус

При 1 ≤ x < ∞ и 0 ≤ y < ∞ имеют место формулы:
,
.

Вторая ветвь ареакосинуса расположена при 1 ≤ x < ∞ и - ∞ < y ≤ 0 :
.

Ареатангенс

При - 1 < x < 1 и - ∞ < y < ∞ имеют место формулы:
,

Его можно записать в параметрическом виде, используя гиперболические функции (этим и объясняется их название).

Обозначим y= b·sht , тогда х2 / а2=1+sh2t =ch2t . Откуда x=± a·cht .

Таким образом мы приходим к следующим параметрическим уравнениям гиперболы:

У= в ·sht , – < t < . (6)

Рис. 1.

Знак ""+"" в верхней формуле (6) соответствует правой ветви гиперболы, а знак ""– "" - левой (см. рис. 1). Вершинам гиперболы А(– а; 0) и В(а; 0) соответствует значение параметра t=0.

Для сравнения можно привести параметрические уравнения эллипса, использующие тригонометрические функции:

X=а·cost ,

Y=в·sint , 0 t 2p . (7)

3. Очевидно, что функция y=chx является четной и принимает только положительные значения. Функция y=shx – нечетная, т.к. :

Функции y=thx и y=cthx являются нечетными как частные четной и нечетной функции. Отметим, что в отличие от тригонометрических, гиперболические функции не являются периодическими.

4. Исследуем поведение функции y= cthx в окрестности точки разрыва х=0:

Таким образом ось Оу является вертикальной асимптотой графика функции y=cthx . Определим наклонные (горизонтальные) асимптоты:

Следовательно, прямая у=1 является правой горизонтальной асимптотой графика функции y=cthx . В силу нечетности данной функции ее левой горизонтальной асимптотой является прямая у= –1. Нетрудно показать, что эти прямые одновременно являются асимптотами и для функции y=thx. Функции shx и chx асимптот не имеют.

2) (chx)"=shx (показывается аналогично).

4)

Здесь так же прослеживается определенная аналогия с тригонометрическими функциями. Полная таблица производных всех гиперболических функций приведена в разделе IV.

Другие обозначения: sinh x, Sh x, cosh x, Ch x, tgh x, tanh x, Th x. Графики см. на рис. 1.

Основные соотношения:

Геометрическая Г. ф. аналогична интерпретации тригонометрических функций (рис. 2). Параметрич. уравнения гиперболы позволяют истолковать абсциссу и ординату точки Мравносторонней гиперболы как гиперболнч. косинус и синус; гиперболич. тангенс-отрезок АВ. Параметр tравен удвоенной площади сектора ОАМ, где AM - дуга гиперболы. Для точки (при ) параметр tотрицателен. Обратные гиперболические функции определяются формулами:

Производные и основные интегралы от Г. ф.:

Во всей плоскости комплексного переменного z Г. ф. и могут быть определены рядами:

таким образом,

Имеются обширные таблицы для Г. ф. Значения Г. ф. можно получить также из таблиц для е х и е -х.

Лит. : Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф., Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, 2 изд., пер. с нем., М., 1968; Таблицы круговых и гиперболических синусов и косинусов в радиацией мере угла, М., 1958; Таблицы е x и е -x , М., 1955. В. И. Битюцков.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ" в других словарях:

Функции, определяемые формулами: (гиперболический синус), (гиперболический косинус). Иногда рассматривается также гиперболический тангенс: (графики Г. ф. см. на рис. 1). Г. ф.… …

Функции, определяемые формулами: (гиперболический синус), (гиперболический косинус), (гиперболический тангенс) … Большой Энциклопедический словарь

Функции, определяемые формулами: shx = (ex e x)/2(гинерболич. синус), chх (еx + е к)/2 (гиперболич. косинус), thх = shx/chx (гиперболич. тангенс). Графики Г. ф. см. на рис …

Семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями. Содержание 1 Определение 1.1 Геометрическое определение … Википедия

Функции, определяемые формулами: shx = (ex – e x)/2 (гиперболический синус), chx = (ex + e x)/2 (гиперболический косинус), thx = shx/chx (гиперболический тангенс). Графики гиперболических функций см. на рис. * * * ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ… … Энциклопедический словарь

Функции. определяемые ф лами: (гиперболич. синус), (гиперболич. косинус), (вставить рисунки!!!) Графики гиперболических функций … Большой энциклопедический политехнический словарь

По аналогии с тригонометрическими функциями Sinx, cosx, определяемыми, как известно, при помощи Эйлеровых формул sinx = (exi e xi)/2i, cosx = (exi + e xi)/2 (где е есть основание нэперовых логарифмов, a i = √[ 1]); иногда вводятся в рассмотрение… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Функции, обратные по отношению к гиперболическим функциям (См. Гиперболические функции) sh х, ch х, th х; они выражаются формулами (читается: ареа синус гиперболический, ареа косинус гиперболический, ареа тангенс… … Большая советская энциклопедия

Функции, обратные к гиперболич. функциям; выражаются формулами … Естествознание. Энциклопедический словарь

Обратные гиперболические функции определяются как обратные функции к гиперболическим функциям. Эти функции определяют площадь сектора единичной гиперболы x2 − y2 = 1 аналогично тому, как обратные тригонометрические функции определяют длину… … Википедия

Книги

• Гиперболические функции , Янпольский А.Р.. В книге излагаются свойства гиперболических и обратных гиперболических функций и даются соотношения между ними и другими элементарными функциями. Показаны применения гиперболических функций к…

Наряду с обнаруженной нами в комплексной области связью между тригонометрическими и показательной функциями (формулы Эйлера)

в комплексной области имеется такное очень простая связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями.

Напомним, что, согласно определению:

Если в тождестве (3) произвести замену на то в правой части получится то самое выражение, которое стоит в правой части тождества откуда вытекает равенство левых частей. То же самое имеет место для тождеств (4) и (2).

Путем деления обеих частей тождества (6) на соответствующие части тождества (5) и, наоборот, (5) на (6) получим:

Аналогичная замена в тождествах (1) и (2) и сравнение С тождествами (3) и (4) дают:

Наконец, из тождеств (9) и (10) находим:

Если в тождествах (5)-(12) положить где х - действительное число, т. е. считать аргумент чисто мнимым, то получим еще восемь тождеств между тригонометрическими функциями чисто мнимого аргумента и соответствующими гиперболическими функциями действительного аргумента, а также между гиперболическими функциями чисто мнимого Аргумента и соответствующими тригонометрическими функциями действительного аргумента:

Полученные соотношения дают возможность переходить от тригонометрических функций к гиперболическим и от

гиперболических функций к тригонометрическим с заменой мнимого аргумента действительным. Они могут быть сформулированы в виде следующего правила:

Для перехода от тригонометрических функций мнимого аргумента к гиперболическим или, наоборот, от гиперболических функций мнимого аргумента к тригонометрическим следует у синуса и тангенса мнимую единицу вынести за знак функции, а у косинуса отбросить ее вовсе.

Установленная связь замечательна, в частности, тем, что позволяет получить все соотношения между гиперболическими функциями из известных соотношений между тригономет рическими функциями путем замены последних гипербёли ческими функциями

Покажем, как это. делается.

Возьмем для примера основное тригонометрическое тож дество

и положим в нем где х - действительное число; получим:

Если в этом тождестве заменить синус и косинус гипербо лическими синусом и косинусом по формулам то получим или а это и есть основное тождество между выведенное ранее другим путем.

Аналогичным образом можно вывести все остальные формулы, в том числе формулы для гиперболических функций суммы и разности аргументов, двойного и половинного аргументов и т. , таким образом, из обычной тригонометрии получить «гиперболическую тригонометрию».

Введение

В математике и её приложениях к естествознанию и технике находят широкое применение показательные функции. Это, в частности, объясняется тем, что многие изучаемые в естествознании явления относятся к числу так называемых процессов органического роста, в которых скорости изменения участвующих в них функций пропорциональны величинам самих функций.

Если обозначить через функцию, а через аргумент, то дифференциальный закон процесса органического роста может быть записан в виде где некоторый постоянный коэффициент пропорциональности.

Интегрирование этого уравнения приводит к общему решению в виде показательной функции

Если задать начальное условие при, то можно определить произвольную постоянную и, таким образом, найти частное решение которое представляет собой интегральный закон рассматриваемого процесса.

К процессам органического роста относятся при некоторых упрощающих предположениях такие явления, как, например, изменение атмосферного давления в зависимости от высоты над поверхностью Земли, радиоактивный распад, охлаждение или нагревание тела в окружающей среде постоянной температуры, унимолекулярная химическая реакция (например, растворение вещества в воде), при которой имеет место закон действия масс (скорость реакции пропорциональна наличному количеству реагирующего вещества), размножение микроорганизмов и многие другие.

Возрастание денежной суммы вследствие начисления на неё сложных процентов (проценты на проценты) также представляет собой процесс органического роста.

Эти примеры можно было бы продолжать.

Наряду с отдельными показательными функциями в математике и её приложениях находят применение различные комбинации показательных функций, среди которых особое значение имеют некоторые линейные и дробно-линейные комбинации функций и так называемые гиперболические функции. Этих функций шесть, для них введены следующие специальные наименования и обозначения:

(гиперболический синус),

(гиперболический косинус),

(гиперболический тангенс),

(гиперболический котангенс),

(гиперболический секанс),

(гиперболический секанс).

Возникает вопрос, почему даны именно такие названия, причём здесь гипербола и известные из тригонометрии названия функций: синус, косинус, и т. д.? Оказывается, что соотношения, связывающие тригонометрические функции с координатами точек окружности единичного радиуса, аналогичны соотношениям, связывающим гиперболические функции с координатами точек равносторонней гиперболы с единичной полуосью. Этим как раз и оправдывается наименование гиперболических функций.

Гиперболические функции

Функции, заданные формулами называют соответственно гиперболическим косинусом и гиперболическим синусом.

Эти функции определены и непрерывны на, причем - четная функция, а - нечетная функция.

Рисунок 1.1 - Графики функций

Из определения гиперболических функций и следует, что:

По аналогии с тригонометрическими функциями гиперболические тангенс и котангенс определяются соответственно формулами

Функция определена и непрерывна на, а функция определена и непрерывна на множестве с выколотой точкой; обе функции - нечетные, их графики представлены на рисунках ниже.

Рисунок 1.2 - График функции

Рисунок 1.3 - График функции

Можно показать, что функции и - строго возрастающие, а функция - строго убывающая. Поэтому указанные функции обратимы. Обозначим обратные к ним функции соответственно через.

Рассмотрим функцию, обратную к функции, т.е. функцию. Выразим ее через элементарные. Решая уравнение относительно, получаем Так как, то, откуда

Заменяя на, а на, находим формулу для функции, обратной для гиперболического синуса.